Signes et variations de la fonction exponentielle

Propriétés

1. La fonction exponentielle est strictement positive sur  \(\mathbb{R}\) . Pour tout \(x\) dans \(\mathbb R\) , \(\text{exp}(x)>0\) .
2. La fonction exponentielle est strictement croissante   sur  \(\mathbb{R}\) .

Démonstration

1. Nous savons déjà que \(\text{exp}\) ne s'annule pas sur  \(\mathbb R\) .
Soit \(x\) un réel. D'après la relation fonctionnelle, on a \(\text{exp}(x)=\text{exp}(\dfrac{x}{2})\times\text{exp}(\dfrac{x}{2})=\left(\text{exp}(\dfrac{x}{2})\right)^2\) ; on conclut que \(\text{exp}\) est strictement positive sur  \(\mathbb{R}\) .
2. Pour tout  \(x\) réel,  \(\text{exp}'(x)=\text{exp}(x)\) et  \(\exp(x)>0\) . Alors, pour tout  \(x\) réel,  \(\text{exp}'(x)>0\) et  \(\text{exp}\) est strictement croissante sur  \(\mathbb R\) .

 Tableau de variations de la fonction exponentielle

La figure suivante montre la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormal.